大一期中高数复习

极限存在准则

夹逼准则（迫敛定理）

$$\text{若在 } x_0 \text{ 的某去心邻域内，有 } g(x) \leq f(x) \leq h(x) \ \text{成立，} \
\text{且 } \lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = A, \
\text{则 } \lim_{x \to x_0} f(x) = A。$$

单调有界准则

$$\text{单调有界数列必有极限。}
\begin{cases}
\text{单调增加有上界} \Rightarrow \text{极限存在} \
\text{单调减少有下界} \Rightarrow \text{极限存在}
\end{cases}$$

两个重要极限

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$$

常用等价无穷小

$$\sin x \sim x, \quad \tan x \sim x, \quad \arcsin x \sim x, \quad \arctan x \sim x$$
$$1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$$
$$\ln(1 + x) \sim x, \quad e^x - 1 \sim x, \quad a^x - 1 \sim x \ln a$$
$$(1 + x)^\alpha - 1 \sim \alpha x$$

等价无穷小替换定理

$$\text{设 } \alpha \sim \alpha’, \ \beta \sim \beta’, \ \text{且 } \lim \frac{\alpha’}{\beta’} \text{ 存在，则 } \lim \frac{\alpha}{\beta} = \lim \frac{\alpha’}{\beta’}。$$

使用注意事项:

乘除可直接替换:$$\text{若 } \alpha \sim \alpha’, \beta \sim \beta’, \text{ 则 } \lim \frac{\alpha}{\beta} = \lim \frac{\alpha’}{\beta’}$$
加减需谨慎:在加减运算中，不能随意替换等价无穷小，必须考虑它们相减后的阶数。
错误示例:$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} \neq \lim_{x \to 0} \frac{x - x}{x^3} = 0 \quad (\text{错误！})$$
正确做法:$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}x^3}{x^3} = \frac{1}{2} \quad (\text{正确})$$

基本求导公式

$$(C)’ = 0, \quad (x^\alpha)’ = \alpha x^{\alpha - 1}$$
$$(a^x)’ = a^x \ln a, \quad (e^x)’ = e^x$$
$$(\log_a x)’ = \frac{1}{x \ln a}, \quad (\ln x)’ = \frac{1}{x}$$
$$(\sin x)’ = \cos x, \quad (\cos x)’ = -\sin x$$
$$(\tan x)’ = \sec^2 x, \quad (\cot x)’ = -\csc^2 x$$
$$(\sec x)’ = \sec x \tan x, \quad (\csc x)’ = -\csc x \cot x$$
$$(\arctan x)’ = \frac{1}{1 + x^2}, \quad (\text{arccot } x)’ = -\frac{1}{1 + x^2}$$

求导法则

四则运算求导法则

$$(u \pm v)’ = u’ \pm v’, \quad (uv)’ = u’v + uv’$$
$$\left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v - uv’}{v^2}$$

链式法则

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

参数方程求导

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\psi’(t)}{\varphi’(t)}$$

微分中值定理

费马引理

$$\text{若 } f(x) \text{ 在 } x_0 \text{ 处可导且取极值，则 } f’(x_0) = 0$$

罗尔定理

$$\text{设 } f(x) \text{ 满足：} \
\text{ (1) 在} [a, b] \text{ 上连续} \
\text{ (2) 在} (a, b) \text{ 内可导} \
\text{ (3)} f(a) = f(b) \
\text{则 } \exists , \xi \in (a, b), \text{ 使得 } f’(\xi) = 0$$

拉格朗日中值定理

$$\text{设 } f(x) \text{ 满足：} \
\text{(1) 在 } [a, b] \text{ 上连续} \
\text{(2) 在 } (a, b) \text{ 内可导} \
\text{则 } \exists , \xi \in (a, b), \text{ 使得 }
f’(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

柯西中值定理

$$\text{设 } f(x), g(x) \text{ 满足：} \
\text{(1) 在 } [a, b] \text{ 上连续} \
\text{(2) 在 } (a, b) \text{ 内可导} \
\text{(3) } g’(x) \neq 0, \forall x \in (a, b) \
\text{则 } \exists , \xi \in (a, b), \text{ 使得 }
\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f’(\xi)}{g’(\xi)}$$

洛必达法则

基本形式 ($\frac{0}{0}$ 型或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型)

$$\text{若 } \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} \text{ 是 } \frac{0}{0} \text{ 或 } \frac{\infty}{\infty} \text{ 型未定式，且} \
\lim_{x \to a} \frac{f’(x)}{g’(x)} = L \text{（或 } \infty\text{），则} \
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f’(x)}{g’(x)} = L$$

其他未定式

$0 \cdot \infty$ 型：化为 $\frac{0}{1/\infty}$ 或 $\frac{\infty}{1/0}$
$\infty - \infty$ 型：通分或有理化
$0^0$, $\infty^0$, $1^\infty$ 型：取对数

$$\text{对于 } 1^\infty \text{ 型：} \lim f(x)^{g(x)} = e^{\lim g(x) \cdot \ln f(x)}$$

泰勒公式

带佩亚诺余项的泰勒公式

$$f(x) = f(x_0) + f’(x_0)(x - x_0) + \frac{f’’(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots \

\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x)$$ 其中配亚诺余项:
$$R_n(x) = o((x - x_0)^n) \quad (x \to x_0)$$

带拉格朗日余项的泰勒公式

$$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x - x_0)^k + R_n(x)$$
其中拉格朗日余项：
$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1}$$
$\xi$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间

麦克劳林公式（在 $x_0 = 0$ 处的泰勒展开）

$$f(x) = f(0) + f’(0)x + \frac{f’’(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n(x)$$

常用函数的麦克劳林展开

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)$$
$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+2})$$
$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1})$$
$$\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + o(x^n)$$
$$(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots \

\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + o(x^n)$$
关系说明：

微分中值定理是泰勒公式当 $n = 0$ 时的特例
洛必达法则常与泰勒公式结合使用求极限
泰勒公式提供了函数在一点附近的多项式逼近

函数与极限的各种定理

函数连续性的定义

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$

闭区间上连续函数的性质

有界性与最值定理

$$\text{闭区间上的连续函数在该区间上有界且能取得最大值和最小值。}$$

零点定理

$$\text{设 } f(x) \in C[a,b], \text{ 且 } f(a) \cdot f(b) < 0, \
\text{则 } \exists , \xi \in (a,b), \text{ 使得 } f(\xi) = 0。$$

介值定理

$$\text{设 } f(x) \in C[a,b], \ f(a) = A, \ f(b) = B, \ A \neq B, \
\text{则对 } A \text{ 与 } B \text{ 之间的任意数 } C, \ \exists , \xi \in (a,b), \text{ 使得 } f(\xi) = C。$$

间断点分类

- 第一类间断点：左右极限都存在
  - 可去间断点：左右极限相等但不等于函数值
  - 跳跃间断点：左右极限不相等
第二类间断点：至少一侧极限不存在（如无穷间断点、振荡间断点）

反函数存在定理

$$\text{若函数 } y = f(x) \text{ 在区间 } I \text{ 上严格单调（增或减）且连续，} \
\text{则其反函数 } x = f^{-1}(y) \text{ 在对应区间上存在且也严格单调、连续。}$$

极限

极限的唯一性

$$\text{若 } \lim_{x \to x_0} f(x) = A, \ \lim_{x \to x_0} f(x) = B, \ \text{则 } A = B。$$

极限的局部有界性

$$\text{若 } \lim_{x \to x_0} f(x) = A, \text{ 则存在 } \delta > 0, \text{ 使得 } f(x) \text{ 在 } \mathring{U}(x_0, \delta) \text{ 内有界。}$$

极限的局部保号性

$$\text{若 } \lim_{x \to x_0} f(x) = A > 0 \ (\text{或 } A < 0), \
\text{则存在 } \delta > 0, \text{ 当 } x \in \mathring{U}(x_0, \delta) \text{ 时，有 } f(x) > 0 \ (\text{或 } f(x) < 0)。$$

函数极限与数列极限的关系（Heine定理）

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = A \ \text{ 的充要条件是} \
\text{对于任何满足 } \lim_{n \to \infty} x_n = x_0 \ (x_n \neq x_0) \text{ 的数列 } {x_n}, \text{ 都有 } \lim_{n \to \infty} f(x_n) = A。$$